今天来进行分治算法的学习~
问题引入：
题目描述:
请在一个有序数组中，找出值x的位置，如果x不在数组中，输出-1。
输入:
第一行，一个整数n，代表数组元素个数第二行，n个数，代表数组的n个元素(n<=1000000)第三行，一个整数x，代表要查找的数
输出:
x在数组中的位置
由于数组过大，使用循环进行遍历并不高效，于是我们考虑如下思想：
对于一个按照升序排列的数组，优先规定其左边界为left，右边界为right，中间mid=(left+right)/2 ，若A[mid]>x则说明mid大了，将右边界移动到mid左边一位。vice versa若A[mid]<x 则说明mid小了，左边界移动到mid右一位。而若A[mid]==x 就是找到啦！
下面进行代码实现，首先我们尝试使用while循环
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| #include<iostream>
using namespace std;
int M[1000000];
int main(){
int n,post=-1;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>M[i];
}
int x;
cin>>x;
int left=0,right=n-1;
while(left<=right){
int mid=(left+right)/2;
if(M[mid]==x){
post=mid+1;
break;
}
else if(M[mid]>x){
right=mid-1;
}
else if(M[mid]<x){
left=mid+1;
}
}
cout<<post;
return 0;
}
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同样的，我们意识到递归也能解决同样的问题，下面我们试图使用递归来解决：
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| #include<iostream>
using namespace std;
int M[1000000];
int x;
int search(int left,int right){
int mid=(left+right)/2;
if(left>right){
return -1;
}
if(M[mid]==x){
return mid+1;
}
if(M[mid]>x){
return search(left,mid-1);
}
if(M[mid]<x){
return search(mid+1,right);
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>M[i];
}
cin>>x;
cout<<search(0,n-1);
return 0;
}
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在完成了基本二分思想的实现之后，我们尝试解决P2249 【深基13.例1】查找 - 洛谷
P2249 【深基13.例1】查找
题目描述
输入 $n$ 个不超过 $10^9$ 的单调不减的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数 $a1,a_2,\dots,a{n}$，然后进行 $m$ 次询问。对于每次询问，给出一个整数 $q$，要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号，如果没有找到的话输出 $-1$ 。
输入格式
第一行 $2$ 个整数 $n$ 和 $m$，表示数字个数和询问次数。
第二行 $n$ 个整数，表示这些待查询的数字。
第三行 $m$ 个整数，表示询问这些数字的编号，从 $1$ 开始编号。
输出格式
输出一行，$m$ 个整数，以空格隔开，表示答案。
输入输出样例 #1
输入 #1
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输出 #1
说明/提示
数据保证，$1 \leq n \leq 10^6$，$0 \leq a_i,q \leq 10^9$，$1 \leq m \leq 10^5$
本题输入输出量较大，请使用较快的 IO 方式。
代码实现：
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| #include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
int M[1100000],N[110000];
int search(int left,int right,int i){
int mid=(left+right)/2;
if(left>right){
return -1;
}
if(M[mid]==N[i]){
if(mid!=0){
if(M[mid-1]==N[i]) return search(left-1,right-1,i);
return mid+1;
}
else return mid+1;
}
else if(M[mid]<N[i]){
return search(mid+1,right,i);
}
else if(M[mid]>N[i]){
return search(left,mid-1,i);
}
}
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>M[i];
}
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>N[i];
}
for(int i=0;i<m;i++){
cout<<search(0,n-1,i);
if(i!=m) cout<<" ";
}
return 0;
}
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可以看到，即便关闭了iostream的同步，最后一个节点还是会TLE，于是我们需要试图继续提高io的速度，如果io速度提高也不行，我们需要重构算法
改为使用printf和scanf，仍然tle
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| #include<cstdio>
int n,m;
int M[1100000],N[110000];
int search(int left,int right,int i){
int mid=(left+right)/2;
if(left>right){
return -1;
}
if(M[mid]==N[i]){
if(mid!=0){
if(M[mid-1]==N[i]) return search(left-1,right-1,i);
return mid+1;
}
else return mid+1;
}
else if(M[mid]<N[i]){
return search(mid+1,right,i);
}
else if(M[mid]>N[i]){
return search(left,mid-1,i);
}
}
int main(){
scanf("%d %d", &n,&m);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&M[i]);
}
for(int i=0;i<m;i++){
scanf("%d",&N[i]);
}
for(int i=0;i<m;i++){
printf("%d",search(0,n-1,i));
if(i!=m-1) printf(" ");
}
return 0;
}
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那么只剩下重构算法了，我们不再尝试利用递归，改为重新用loop，刚刚使用递归只是为了熟悉下递归
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| #include<cstdio>
int n,m;
int M[1100000],N[110000];
int search(int left,int right,int i){
int post=-1;
while(left<=right){
int mid=(left+right)/2;
if(M[mid]==N[i]){
post=mid+1;
right=mid-1;
}
else if(M[mid]>N[i]){
right=mid-1;
}
else if(M[mid]<N[i]){
left=mid+1;
}
}
return post;
}
int main(){
scanf("%d %d", &n,&m);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&M[i]);
}
for(int i=0;i<m;i++){
scanf("%d",&N[i]);
}
for(int i=0;i<m;i++){
printf("%d",search(0,n-1,i));
if(i!=m-1) printf(" ");
}
return 0;
}
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成功AC
